Plan ud fra 3 punkter beregner

En plan er en flade i rummet. En plan kan beskrives på flere måder. Den kan beskrives ved en parameterfremstilling, eller ved en ligning.

Planens parameterfremstilling

Planens parameterfremstilling er en måde at beskrive en plan i rummet. Planens parameterfremstilling er på formen:

\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}r_{1x}\\r_{1y}\\r_{1z}\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}r_{2x}\\r_{2y}\\r_{2z}\end{pmatrix} \;,\; t,s \in \mathbb{R}

Her er $x_0$ , $y_0$ og $z_0$ koordinaterne for et punkt på planen mens $r_{1x}$ , $r_{1y}$ og $r_{1z}$ er koordinaterne for en retningsvektor $\vec{r_1}$ og $r_{2x}$ , $r_{2y}$ og $r_{2z}$ er koordinaterne for en retningsvektor $\vec{r_2}$ . Disse to retningsvektorer må ikke være parallelle. $t$ og $s$ kaldes for parametre.

Når man skal finde planens parameterfremstilling ud fra tre punkter, starter man med at lave retningsvektorerne ved at tage forbindelsesvektoren mellem punkterne. Herefter vælges et af punkterne som punktet, planen skal gå igennem.

Planens ligning

Planens ligning er en måde at beskrive en plan i rummet. Planens ligning er på formen:

a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0

Her er $a$ , $b$ og $c$ koordinaterne for en normalvektor til planen mens $d$ er defineret ved

d = -a \cdot x_0 - b \cdot y_0 - c \cdot z_0

Hvor $x_0$ , $y_0$ og $z_0$ er koordinaterne for et punkt på planen.

Måden, man beregner planens ligning ud fra tre punkter på, er ved at lave to retningsvektorer ved at tage forbindelsesvektoren mellem punkterne og finde normalvektoren ved at tage krydsproduktet af disse. Herefter beregnes $d$ og til sidst sættes alt ind i planens ligning.

Denne beregner kan beregne planens parameterfremstilling og planens ligning ud fra punkterne $A$ , $B$ og $C$ . Her vil $\vec{r_1}$ være vektoren $\vec{AB}$ fra $A$ til $B$ og $\vec{r_2}$ være vektoren $\vec{AC}$ fra $A$ til $C$ mens $A$ er punktet $(x_0, y_0, z_0)$ . De samme retningsvektorer bliver brugt til både parameterfremstillingen og ligningen.